フェルミ推定に挑戦

研究

「フェルミ推定」とは、「そんなもんどうやって計算するねんｗｗｗわかるかアホｗｗｗ」っていうような数を、えいやっ！と力づくで見積もってしまう技である。「ちゃんとしたどんぶり勘定」と言ってもいい。仮説設定の力、糸口を探す力、論理構成力、あきらめずに最後まで計算してしまう力、等々を鍛えるにはうってつけの素材である。就活の面接でも問われることがよくあるとも聞く。後述するような（一見すると）無茶難題を「３分で答えよ」なーんてふっかけられるんだそうだ。

基本的には、「その数字は何桁か」がわかることが目標である。宇宙物理学者の得意分野である。テストの点数など60点だろうが99点だろうが10点だろうが、２桁なので同じなのである（笑）まぁ、それは冗談ではあるが、推定の結果は、「正解」（あるとすれば、だが…）のプラスマイナス１桁に入っているくらいの精度は欲しいところだ。

僕が学生時代を過ごした某宇宙物理学教室には、これが上手な人が多かった。かっこいいなーと憧れたものだ。そもそもこの「フェルミ」の名は、大科学者エンリコ・フェルミが得意としていたという伝説に由来する。僕も一応、科学者を名乗っているので、モノにしたい欲もある。

で、最近、自分自身の脳の修業と、（現実的な必要性として）「観光のための数的推理」のネタ作りとを兼ねて、少しずつ取り組もう！と思いたち、ある書籍を読んだ（この本自体はあんまり面白くなかったので書評は書いていない）ところ、例題が載っていたので試しにやってみた。もちろん（と言っていいのかどうかわからないが）、３分では全くできないけれど。

シカゴにピアノ調律師は何人いるか？

フェルミ推定の代名詞とも言うべき、超有名な問題であるらしい。
糸口になる仮定として、「需要と供給がバランスしている」とする。そうすると、需要つまり調律が必要なピアノの数と、供給つまり調律師全員でこなせる台数が等しいことになる。

  1. 大阪市と同じ位と考え、人口200万人と仮定
  2. 世帯数は、都会で一人暮らしも多いだろうから、平均して人口の半分と仮定。100万世帯
  3. そのうち10軒中1軒にピアノがあるとして、ピアノは10万台ぐらい。後の計算を簡単にするため7.2万台としておく。「10軒中1軒」もちょっと多いような気もするし(^^;
  4. ピアノ調律師は一人当たり一日に2件の調律の仕事をこなすとし、5年で全ピアノの調律がなされる（＝どのピアノも５年に１回調律している）とすると
    7.2万÷（365×5×2）≒20人
    いればよく、ピアノ調律の仕事の需要と供給が釣り合ってると仮定すれば、これだけいるはずである。

その本の解答例は、仮定はほぼ同じで、170人と推定していた。たいていは７５〜２００人ぐらいに収まるらしい。過少見積もりだったようだ。ちなみにシカゴ市（近郊は除く）の人口は265万人、大阪市の人口は267万人だそうで、いい勘してた（これも過少見積もりだったけれど）。

世界中で１日に食べられるピザは何枚か？

  1. 世界人口100億とする（もちろん常識的には70億人だが、計算を簡単にするためにこうした）
  2. 平均して１世帯３人とすると30億世帯
  3. そのうち1/3が都市部にあるとすると10億世帯
  4. そのうち半分がピザを食べる習慣があるとして5億世帯
  5. これを以下のように３つのグループに分ける（各1.6億世帯）
    1. 1/3がよく食べる＝週に１回として1.6億／7＝2000万（各曜日で等しい数の世帯でピザが食べられていると仮定）
    2. 別の1/3は時々食べる＝月に１回として1.6億／30＝500万
    3. 残りの1/3は殆ど食べないとして無視（←年に１回としても２桁違うので無視）
  6. なのでa+b+c＝2500万枚

解答例では、セグメンテーション（場合分け）も、ロジックも、大きな違いはなかったのに、1.4億枚と推定していた。何が違うかというと、

  1. 週１で食べる人＝５億人
  2. 月１で食べる人＝２０億人
  3. 食べない人＝４０億人
と推定していたところ。なぜそこが違うかと言うと、僕の仮定の３と４。この２つの仮定が無ければ６倍＝1.5億枚になって、値は近くなる。もちろん正解はわからないが、どちらのほうが説得力がある仮定だろうか？微妙なところかと思う。

琵琶湖の水は「何滴」あるか？

  1. 僕の自宅〜和歌山の通勤距離が片道80km強。たぶん琵琶湖の「長軸」の長さがこれぐらい。
  2. 短軸はその1/3ぐらいのような気がするから30km
  3. 楕円の面積は単純計算できないけど、長方形と近似した80x30＝2400km2よりは小さい。だから2000km2＝2x109 [m2]としておく。
  4. 深さが全然わからないけれど、平均して、10mってことはないし、1000mってこともないだろうから、100mとしておく。
  5. 水量は(2x109)x100=2x1011m3。
  6. 「１滴」は1ccよりは少ないだろう。でも1ccから10滴は作れそうにない気がする。５滴で1ccとすれば、

    １滴＝0.2cc＝2x10-1x(10-2)3＝2x10-7 [m3]

  7. 従って

    (2x1011)／(2x10-7)＝1018滴＝（109）2滴＝10億×10億滴
解答例によれば、詳細を省くと
  1. 表面積 30km×50km×0.5
  2. 平均水深 50m
  3. 水滴体積 4π×（2-3）3／3[m3]
  4. として水滴数≒ 1×1018　←ぴったり！
となって、「ご名算！」となった。ちなみに同書でやっていたリアルな数字を用いた検証によれば、0.7×1018滴とのこと。なかなかいい精度だ。

プッと笑い出しそうなアホみたいなお題が、「わかってしまう」という快感！　算数自体は大キライだけど、この「わかる」快感、「うわｗｗｗできてしもたがなｗｗｗ」がたまらない。まさに知的遊戯。